非周期的タイル張りのみ可能なタイル「hat」や「turtle」と凸五角形タイルのType 5のタイリングの関係

はじめに

以下の話は，「非周期的タイル張りのみ可能なタイルの話」と「非周期的タイル張りのみ可能なタイル「hat」を使った周期性を持つ敷き詰め模様のベルト」を読んでいることを前提にしています．

論文「An aperiodic monotile https://arxiv.org/abs/2303.10798v1　」の非周期的タイル張りのみ可能なタイルにおいて，「hat」と呼ばれれている形（ Tile(1, \( \sqrt{3} \) )）と「turtle」と呼ばれている形（ Tile( \( \sqrt{3} \), 1) ）があります．これらhatやturtleのタイルの表面に，壁紙群のp6mやp6のタイリングを形成できる模様を付けることができると考えられます．

例えば，Type 5と呼ばれるファミリーに属す凸五角形タイル（1種類の凸五角形で平面を敷き詰めできるもの）が形成できる代表的な（isohedral）タイリングは，壁紙群のp6に該当します．

ここではそれらの対応図を紹介します．