はじめに

論文「A chiral aperiodic monotile　https://arxiv.org/abs/2305.17743 」の結果を利用して，3種類の五角形を使った非周期的タイル張りの作り方を，論文「Tile(1, 1)の非周期的タイリングを3種類の五角形を備えたタイリングに変換する」で紹介しました．なお，補足として「「Tile(1, 1)の非周期的タイリングを3種類の五角形を備えたタイリングに変換する」の補足」も作成しました．

論文「An aperiodic monotile https://arxiv.org/abs/2303.10798v1 」で示されているように，Tile(1,1)は裏返したものを使うと周期的タイル張りが可能です．ですがTile(1,1)は，論文「An aperiodic monotile https://arxiv.org/abs/2303.10798v1 」で示された非周期的タイル張りも形成できます．その敷き詰めは，論文「Tile(1, 1)の非周期的タイリングを3種類の五角形を備えたタイリングに変換する」で紹介した同様の方法で，下図のように正方形と鋭角30度の菱形と正六角形（正六角形は3個の鋭角60度の菱形に分解可能）の敷き詰めに変換できます．

そこで，下図の敷き詰めを3種類の五角形を使った敷き詰めに変換した結果を紹介します．なお，正六角形を3分割した菱形とそれに対応する五角形の向きは一意に決めらませんが，ここでは常に同じ向きだけを使っています．

図1．裏返しも用いたTile(1,1)で形成した非周期的タイル張りのためのクラスタ

 

1番目のパターン

1番目のパターンは，論文「An aperiodic monotile https://arxiv.org/abs/2303.10798v1 」での\(H_{7}\)と\(H_{8}\)を使った置換に沿った置換方法で，3種類の五角形を使った非周期的タイル張りを形成できます． 1番目のパターンは，30度の菱形に対応する五角形はすべて裏向き（アスタリスクの印がある向き）を使った場合になります．

図2．1番目のパターンのクラスタ

 



図3．1番目のパターンのタイリング

 

図4．Tile(1, 1)のタイリングと変換後の1番目のパターンのタイリングのアニメーション

2番目のパターン

2番目のパターンは，論文「An aperiodic monotile https://arxiv.org/abs/2303.10798v1 」での\(H_{7}\)と\(H_{8}\)を使った置換に沿った置換方法で，3種類の五角形を使った非周期的タイル張りを形成できるようになると思います． 2番目のパターンは，30度の菱形に対応する五角形はすべて表向きを使った場合になります．（クラスタの形を2023/09/24にアップデートしました．）

図5．2番目のパターンのクラスタ

 



図6．2番目のパターンのタイリング

 

図7．Tile(1, 1)のタイリングと2番目のパターンのタイリングのアニメーション

補足

変換に使う3種類の五角形をすべて凸形にした1番目のパターンの結果が図8と図9です．

図8．3種類の凸五角形で形成した1番目のパターンのクラスタ

 



図9．3種類の凸五角形で形成した1番目のパターンのタイリング

 

変換に使う3種類の五角形をすべて凸形にした2番目のパターンの結果が図10と図11です．

図10．3種類の凸五角形で形成した2番目のパターンのクラスタ

 



図11．3種類の凸五角形で形成した2番目のパターンのタイリング

 

変換に使う3種類の五角形をすべて凹形にした1番目のパターンの結果が図12と図13です．

図12．3種類の凹五角形で形成した1番目のパターンのクラスタ

 



図13．3種類の凹五角形で形成した1番目のパターンのタイリング

 

変換に使う3種類の五角形をすべて凹形にした2番目のパターンの結果が図14と図15です．

図14．3種類の凹五角形で形成した2番目のパターンのクラスタ

 



図15．3種類の凹五角形で形成した2番目のパターンのタイリング

 

変換に使う3種類の五角形を凹五角形と凸五角形と（五角形が退化した）台形にした1番目のパターンの結果が図16と図17です．

図16．凹五角形と凸五角形と台形で形成した1番目のパターンのクラスタ

 



図17．凹五角形と凸五角形と台形で形成した1番目のパターンのタイリング

 

変換に使う3種類の五角形を凹五角形と凸五角形と（五角形が退化した）台形にした2番目のパターンの結果が図18と図19です．

図18．凹五角形と凸五角形と台形で形成した2番目のパターンのクラスタ

 



図19．凹五角形と凸五角形と台形で形成した2番目のパターンのタイリング

 

変換に使う3種類の五角形を1種類の凹五角形と2種類の凸五角形にした1番目のパターンの結果が図20と図21です．

図20．1種類の凹五角形と2種類の凸五角形で形成した1番目のパターンのクラスタ

 



図21．1種類の凹五角形と2種類の凸五角形で形成した1番目のパターンのタイリング

 

変換に使う3種類の五角形を1種類の凹五角形と2種類の凸五角形にした2番目のパターンの結果が図22と図23です．

図22．1種類の凹五角形と2種類の凸五角形で形成した2番目のパターンのクラスタ

 



図23．1種類の凹五角形と2種類の凸五角形で形成した2番目のパターンのタイリング

 

変換に使う3種類の五角形を（五角形が退化した）台形と2種類の凸五角形にした1番目のパターンの結果が図24と図25です．

図24．（五角形が退化した）台形と2種類の凸五角形で形成した1番目のパターンのクラスタ

 



図25．（五角形が退化した）台形と2種類の凸五角形で形成した1番目のパターンのタイリング

 

変換に使う3種類の五角形を（五角形が退化した）台形と2種類の凸五角形にした2番目のパターンの結果が図26と図27です．

図26．（五角形が退化した）台形と2種類の凸五角形で形成した2番目のパターンのクラスタ

 



図27．（五角形が退化した）台形と2種類の凸五角形で形成した2番目のパターンのタイリング