研究活動紹介

 

概要 (> English Ver)

 

凸五角形タイル張り問題

凸多角形による平面のタイル張り(タイル貼り,タイリング,テセレーション,tiling, tessellation)研究において,一種類の合同図形のみのでタイル張り可能な凸多角形タイル(平面充填形)の網羅(分類)を目指す問題があります.

内角和が360度を整除できる三角形と四角形(凹も含めて)はすべて多角形タイルで,凸六角形タイルは3種類に分類でき,7辺以上の凸多角形タイルは存在しないことが知られています.凸五角形の充填形は現在までに,Reinhardt,Richard Brandon Kershner, Richard James Ⅲ, Marjorie Rice, Rolf Stein, Casey Mannなどによって示された15種類が知られていますが,これで網羅という証明はなく,唯一未解決問題です.この五角形の場合を,凸五角形タイル張り問題と呼びます.
凸五角形のタイリングで,凸五角形の辺上に他の凸五角形の頂点を許すような場合は六角形の凸条件を緩和したタイリングともみなせます.このような観点から,私はタイルの辺が同じ長さの辺のみと接触するようなedge-to-edgeタイル張りが真の意味で充填凸五角形のタイル張りと考え,まずedge-to-edgeタイル張り可能な凸五角形に限定して研究を進めました.その結果,edge-to-edgeタイル張り可能な凸五角形タイルは,既存の8種のtypeのすくなくとも1つに属すことを証明しました(私の論文「Convex Pentagons for Edge-to-Edge Tiling, III」や「Tiling Problem: Convex Pentagons for Edge-to-Edge Monohedral Tiling and Convex Polygons for Aperiodic Tiling」を参照)

 

なお15番目のtypeの凸五角形タイルは,2015年にCasey Mannらによって発見されました(発見の連絡は,日本時間だと2015年7月30日にメールで届きました).14番目の発見から,約30年ぶりの新しいtypeの発見でした.彼らはコンピュータを用いて調査を進めているそうで,さらなる新しいtypeの凸五角形タイルが見つかるかもしれません.

 Mannの論文:http://arxiv.org/abs/1510.01186

 

七辺以上の凸多角形タイルが存在しないことの証明は,「M.S. Klamkin and A. Liu, Note on a result of Niven on impossible tessellations, American Mathematical Monthly, 87 (1980) 651--653.」などが参考になります.

凸六角形タイルの3種のtypeは,http://mathworld.wolfram.com/HexagonTiling.htmlなどで確認できます.

凸五角形タイルの15種のtypeは,http://mathworld.wolfram.com/PentagonTiling.htmlなどで確認できますし,私の各論文などで条件式などを含め確認できます(注意:2016年1月号の数学セミナーの「平面タイル張り可能な凸五角形」の図1には編集による誤植があるので注意してください).

Edge-to-edgeタイル張り可能な凸五角形タイルが属す8種のtypeは,私の論文の「Convex Pentagons for Edge-to-Edge Tiling, III 」と「Tiling Problem: Convex Pentagons for Edge-to-Edge Monohedral Tiling and Convex Polygons for Aperiodic Tiling」で確認できます.

 

  メモ(現在の進行状況など)

 


球面の充填・被覆の問題

「単位球面上にN個の大きさの等しい球帽(球面上の円)を重ならないように配置したい.球帽の最大角直径を求めよ.最大を与えるときの球帽の配置はどのようなものか?また,そのような的に一通りか?」をTammesの問題(球帽を用配置は本質いた単位球面の最密充填問題)と呼びます.この問題は, N = 1, ..., 14, 24に関してのみ数学的証明を伴った最適解が与えられています.
ここで,角半径 r の球帽に対して,角半径を半分の r/2 にした球帽を半球帽と呼ぶことにします.私は球帽中心が他の球帽内部に存在しないという条件下で,球帽を用いた球面の逐次被覆を行いました.球帽中心が他の球帽内部に存在しないという条件を満たす球帽の球面被覆ならば,それらの球帽を同心の半球帽に置き換えると,半球帽は互いに重なりません.したがって私の球帽の逐次被覆法は,半球帽の球面充填と密接に関連します.私の球面逐次被覆で の場合を求めた結果,本手法による解とTammesの問題の解が完全に対応しているという興味深い事実を見いだしました.特にN= 10に関して,いままでDanzerによって球帽の角直径が[1.154479, 1.154480]と近似値範囲のみで示されていましたが,私は初めて正確な値を数式で表しました(私の論文の「Packing and Minkowski Covering of Congruent Spherical Caps on a Sphere, II: Cases of N = 10, 11, and 12」や「Exact Value of Tammes Problem for N=10」を参照)

 


8回対称ペンローズ・タイリングのグラフ測地線を用いた解析

準結晶は,結晶とは違い周期性を持たない構造なので2次元・3次元においてはなおさら様々な角度からの特徴づけが必要となります.そこで,一般の2次元三角形網を特徴づけるものとして小川・ Collinsが導入したグラフ測地線という方法を用いて,8回対称ペンローズ・パターンの解析を試みました.

 

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