研究活動紹介

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メモ

 

数学セミナーの誤植

2016年1月号の数学セミナーで「平面タイル張り可能な凸五角形」という記事を書かせてもらいましたが,45頁の図1の凸五角形タイルの条件でいくつかの編集による誤りがみつかりました.該当箇所は,

type 2の「A+B+C = 360°」は「A+B+D = 360°」の誤り,

type 6の「A+B+C = 360°」は「A+B+D = 360°」の誤り,

type 15の「2a = 2b = 2d = e」は「2a = 2b = 2d = c」の誤り,

です.

数セミは送られた原稿にある複雑な数式を一から打ち直す(組み直す)そうです.図は雑誌全体の統一を図るためトレースして文字も調整しするそうです(図内の数式は組み直しも適用されるようです).

 

現在主に進行中

Edge-to-edgeタイル張り可能な凸五角形の研究を利用して,Heesch数を持つ凸五角形の調査.

Non-edge-to-edgeの場合を含めたタイル張り可能な凸五角形の調査(主に周期的タイリングを生成出来るものを中心に).

 

その他の課題

凸五角形タイル張り問題(凸多角形タイル張り問題)に関するサーベイ(どの結果がどこに載っているかなど既存の情報をまとめたもの)の作成.

凸六角形タイルが3つのtypeに分類できることの証明(現在,この事実は認識しているがその証明は未確認.Reinhardtの証明はドイツ語のため簡単には確認できていない.自分なりの証明方法を一応考えているが,多くのパターンを確認する必要あり,短時間ではそれをやり遂げるのは現状では難しいと考えている).

 

7辺以上の凸多角形がタイリング生成不可能である(7辺以上の凸多角形タイルが存在しない)証明.

Grünbaum and ShephardのTILINGS AND PATTERNS (W. H. Freeman and Company, New York, 1987)にこの結果に該当する話は当然あるのですが,そのものずばりの記載になっていないためちょっとわかりにくいかもしれません(その内容は,適用範囲がタイルを凸多角形に限定しないでものになっている.そのため証明もそれほど簡易ではない).代わりに,

M.S. Klamkin and A. Liu, Note on a result of Niven on impossible tessellations, American Mathematical Monthly, 87 (1980) 651--653.

が内容も短く,わかりやすいと思われます.

以前は,このことに関する証明をなにかしらのかたちで発表しようと思っていましたが,上記の論文はWebから取得も容易な環境(Googleの検索で見つかります)にあることから,あえて私が示すこともないと思っています.

 

色も模様もない一種類の合同な凸多角形によるp3m1のタイリング

平面の結晶群(模様群)は17種(17 wallpaper groups)に分類されます.その中のp3m1のタイリングを,色も模様もない一種類の合同な凸多角形で形成する方法はある?と以前とある方に質問されました.私はわからなかったのですが,このことをJaap Scherphuis氏に聞いてみたところ,三角形を12分割するものを用いて形成する方法を教えてもらいました.その方法で私が作成したタイリングが下図です.このタイリング以外に,色も模様もない一種類の合同な凸多角形によるp3m1のタイリングは存在するのか?に興味があります.

 

p3m1

 

 

 

<過去データ・メモ置き場>

シンポジウム・研究会

• 平面タイル張り可能な凸五角形(直観幾何学2016,熊本大学,2016年2月7日).

• 凸五角形による周期的タイリングに関する考察(第77回形の科学シンポジウム,2014年6月14日).

• 凸五角形のEdge-to-Edgeタイリングと凸多角形の非周期的タイリング(2012年度応用数学合同研究集会,2012年12月22日).

• Edge-to-Edgeタイル張り可能な凸五角形と非周期的Edge-to-Edgeタイル張り可能な凸多角形(第74回形の科学シンポジウム,2012年11月18日).

• Edge-to-edgeタイル張り可能な凸五角形タイルの分類と非周期的edge-to-edgeタイル張り可能な凸多角形の性質(研究集会・タイリング空間のトポロジーとその周辺,京大数理研,2012年10月4日).

• Edge-to-edgeタイル張り可能な凸五角形と非周期的edge-to-edgeタイル張り可能な凸多角形(東海大,2012年3月22日).

 

 

研究関連

edge-to-edgeタイル張り可能な凸五角形タイルのtypeの網羅が完了(2012年2月13日).

 

 

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